从知识本质出发分析租船的最佳策略
从知识本质出发分析租船的最佳策略
［摘要］租船问题教师在执教时往往预设各种情况，最后发现学生根本不能理解或者不能结合实际情况，失去了本节课优化思维的渗透，转而进行流程式教学，学生只是记住了解决这类问题的过程，而没有理清知识的本质，教师也是对租船问题理解有限，不能有效的设计教学，失去了租船问题的趣味性，增加了教学的枯燥性，使数学变成了学生的噩梦。
[关键词]租船问题 剩余人数 退大船租小船 空位 优化
一、缘起
笔者在执教人教版四年级下册第一单元《租船问题》时发现学生能够做出“该租大船”还是“该租小船”的选择，但是不能根据实际情况做合理的判断。因此笔者分析各种教学案例和教学设计发现现有的教学案例虽然都能做到以学生为中心，但是不能从实际情况本身所衍生的所有情况构建合理的教学设计。
二、分析
《租船问题》是培养学生分析问题的能力，注重结合具体情景培养学生的合情推理能力与应用意识[1]，是应用基于数量关系解决问题中利用综合分析法问题的思路。因此笔者分析教材发现《租船问题》的知识生长点在人教版二年级下册，教材在其中是这样呈现：22个学生去划船，每条最多坐4人。他们至少要租多少条船？让学生用有余数除法知识解决简单的实际问题，并用“进一法”得出问题的答案[2]。而四年级教材在二年级思考问题的一个维度基础上添加了价格的维度，由一个维度变成了两个维度，这加大了学生解决此类问题的难度，而现有的做法通常是通过“三年级的列表法解决问题的思路”或者通过“租哪种船便宜的思路”引导学生思考，但是这两种做法都注重分析空余座位，没有达到培养学生的逻辑思维能力，只是注重有“空余座位”引导学生通过退大船租小船进行优化，可是现实中有时候优化完成后小船还是有空余座位，未突出通过退大船租小船进行优化的本质。
三、研究
教材这样呈现：32人去公园划船，大船限乘6人，租金30元，小船限乘4人，租金24元。问怎样租船最省钱？通过学生的对话发现大船每个座位5元，小船每个座位6元，租大船便宜。出示租5条大船和1条小船的情况，然后提示小船还有空座位，引导学生思考。但是这种分析与解答引导学生思考的是小船有空余座位从而进行退大船租小船的优化策略，但是如果这个时候人数不是26人而是25人，学生的思考点还是小船的空余座位，而不是船的数量。因此笔者列举了所有的租船问题的情况，如下表：
情况
人数
算式
余数
选择
①
35
35÷6=5（条）……5（人）
5人
5人租大船
②
34
34÷6=5（条）……4（人）
4人
4人租小船
③
33
33÷6=5（条）……3（人）
3人
3人租小船
④
32
32÷6=5（条）……2（人）
2人
2人退大船租小船
⑤
31
31÷6=5（条）……1（人）
1人
1人退大船租小船
通过上表我们发现其实在租船问题中有两个核心要素：第一、通过算式确定租船的数量，最后的选择无论是全租大船、余数租小船还是退大船租小船的情况都是在依据“进一法”确定租船数量恒定的基础上做出选择；第二、通过余数选择租船的类型，如果余数大于小船限乘人数，余数是租大船的情况；如果余数等于或者超过小船人数的一半，余数是租小船的情况；如果余数是等于或者小于小船人数的一半，余数是退大船租小船的情况。
如情况①，总人数有35人，而剩余人数是5人，这个时候剩余人数超过小船的限乘人数，剩余5人租大船更合理，如果剩余5人租小船就需要两条小船，不论是否进行退大船租小船的优化，由1条大船30元改变成2条小船48元，租船的价格已经贵了，如果再进行优化只能仿照情况⑤进行，但是租船的价格仍然不会比情况①租6条大船更便宜。
如情况②，总人数有34人，而剩余人数4人正好是小船的限乘人数，只需要租小船就可以解决这个问题。
如情况③，见下图：
这个时候剩余人数是3人，如果进行退大船租小船的优化，就会发现原先只需要5条大船和1条小船，租船的价格是30×5+24=174（元），而进行退大船租小船的优化后需要3条大船和4条小船，这个时候租船的价格是30×3+24×4=186（元），这种情况下我们发现租船价格变化的实质是由租船的数量发生变化所引起的，在不退大船租小船的情况下我们是根据算式33÷6=5（条）……3（人）得出租船的总数量就是5+1=6（条），但是在退大船租小船的情况下多出了1条小船，虽然相比不优化的时候少去了8元，但是多了1条小船的价格24元，因此相比不优化贵了16元。
如情况④，见下图：
这个时候剩余人数正好是2人，发现只需要将1条大船上的2人移到小船上，原先1条大船改变成了1条小船，总的租船价格相比5条大船和1条小船便宜了6元。
如情况④，见下图
这个时候剩余人数是1人，发现只需要将1条大船上的2人移到小船上，原先1条大船改变成了1条小船，虽然小船还有1个空余的座位，但是总的租船价格相比5条大船和1条小船便宜了6元。
通过以上各种情况分析发现，在解决租船问题的时候首先确定租大船还是小船之后，利用有余数的除法确定租船总的数量，在后续退大船租小船的优化中确保的是：总的租船数量不变的情况下将大船退租，改租小船才能确保价格相比原先利用有余数除法确定的剩余人数需要的是哪种情况下的船更便宜，因此教师既要突出空余座位的核心地位，又要恰当的淡化空余座位的核心地位。
四、重塑
学生需要先对信息进行整理分类，然后选择有关联的信息尽量多地提出问题，在把问题进行分类，寻找联系，形成问题船，解决问题的思路就在这个过程中形成了[3]。因此笔者认为基于对租船问题所有实际情况梳理的分析，教师需要重塑教学流程，达到以学生为中心的教学，有效落实“双减”的目的。
笔者重塑的教学流程按照“提取数学信息—分析数学信息—确定租船方向—小组合作分析—对比各种情况—归纳总结方法”的方式进行执教活动。
①提取数学信息、分析数学信息、确定租船方向：教师通过初次只出示大船和小船限乘人数，学生提取数学信息，进行选择后教师再次出示大船和小船的租金，学生从二年级一维人数角度扩展到四年级二维人数和价格的角度进行选择，学生很容易发现“人均多少钱”这个概念，通过比较发现大船人均5元，小船人均6元，租大船比较便宜。
②小组合作分析、对比各种情况：教师将学生分为5个小组，每个小组又分为甲组和乙组。第一个小组研究人数是35人的租船情况，第二个小组研究人数是34人的租船情况，第三个小组研究人数是33人的租船情况，第四个小组研究人数是32人的租船情况，第五个小组研究人数是31人的租船情况，最后学生对比交流，教师适时提出问题“你选择这样租船是怎么思考的？”，学生会在画图交流中发现租船的时候需要首先确定租几条船，然后剩余人数的船该怎么租，能不能进行优化，从而达到本节课优化思想的渗透。
最后，教师和学生通过画线段图形成解决租船问题的策略,如下图：
发现其实租船问题就是余数选择后的能否优化问题，当小船空余一半以上座位就优化，小船空余座位不足一半不优化，超过小船座位数量选择大船。
③归纳总结方法：学生在教师的引导下从“进一法”确定恒定的租船数量，剩余人数的选择租大船还是租小船确定租船方式，如果选择租小船看能否进行退大船租小船而确保租船的总数量不变进行退大船租小船的优化。
本节课笔者通过研究知识本质，重塑教学设计，达到以学生为中心的目标实现租船问题的梳理，帮助学生建立问题归纳意识，培养学生逻辑思维能力。
参号文献：
[1]张梅英, 韩雪. 由部分到整体从方法到策略 ——人教版四年级下册"租船问题"的教学实践[J]. 教学月刊：小学版（数学）, 2020(6):3.
[2]李英, 曹彪. 优化应当"水到渠成"——"租船问题"一课的研磨感悟[J]. 湖南教育：下旬（C）, 2020(11):2.
[3]黄毕年. 从"复杂"活动中感悟"优化"思想——以四年级下册"解决问题例5:租船"教学为例[J]. 中小学数学:小学版, 2021(12):2.
