原来理科课堂还能这么有趣！青教赛理科组一等奖第一名逐字稿分享！

今天给大家分享的是第六届青年教师教学竞赛理科组一等奖第一名作品的逐字稿，来自山东师范大学的周峰老师及其课程《概率论与数理统计》，一起来看看吧！

概率破玄机，统计解迷离。各位同学上午好，欢迎来到概率论与数理统计的课堂，今天我们探讨离散型随机变量的数学期望。首先呢，让我们一起来看一段视频。

视频啊，呈现了街边的一种摸珠子的游戏，我们来介绍一下游戏的规则：玩家在玩游戏之前，不需要先向摊主交钱，摊主有一个袋子，袋子中有红蓝绿三种颜色珠子各8个，总共有24个珠子，玩家呢从这24个珠子中随机的摸出12个珠子，根据不同颜色珠子个数组合得相应的奖金，比方说玩家摸出8红4蓝，我们把这种情形称为840，所谓840 就是指不考虑颜色的排列，三种颜色珠子个数分别是8个4个0个的情形。在视频中呀，这位小伙摸出的是345，对于从24个珠子里面摸出12个珠子，有以下可能的结果：

比方说一种颜色珠子摸出8个7个6个5个4个的情形，总共有13种可能的结果，但是每种结果的奖金是不一样的，如果摸出840，运气非常好，能从摊主那里啊赚100元，如果摸出750和660呢，能分别赚20元，有两种情形赚10元，两种情形赚2元，有5种情形呀，能从摊主那里赚一块钱。但是一旦摸出三四五，不但不能从摊主那里，赚钱还需要向摊主交钱。由于交10块钱，我们记为-10元，我们介绍了游戏的规则，那么今天在课堂上呢，我们情景重现，请同学们呀，来玩一下这个游戏，看看同学们的运气如何。

同学们呀，玩了很多局，怎么整体上来说输多赢少呢？在现实中，很多人从街边路过，会被这个游戏所吸引，以为大概率能从摊主那里赚钱，可是一旦玩起来呀，偶尔能从摊主那里赚一点钱，但更多的时候是要赔钱的。摊主在玩游戏之前，怎样预判了游戏的结果，保证稳赚不赔呢？摊主是以怎样的数学原理设计了这样一款游戏呢？我们今天就要通过数字特征的刻画，来揭开游戏的真相，破解游戏的玄机。

接下来啊，我们首先考虑一个简单的射击案例，抽象出本节课要探讨的数字特征。在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，我国运动员杨倩获得奥运会首枚金牌，这是杨倩在决赛中射击的环数，争夺金牌的运动员要射击24枪，这是24枪的环数分布，我们来计算一下环数的平均值。

如何计算呢？我们发现有一枪是9.8环，两枪10环，3枪10.8，三枪10.9，这样就计算出总的环数。再除以总的枪数，就可以计算出平均值，这个大家都非常熟悉。我们从形式上呀对这个表达式进行改写，运用分配律，我们发现24枪当中有一枪命中9.8环，也就是说9.8环所对应的频率是1/24，我们将环数与频率进行乘积，再进行求和，就可以计算出平均值。

在决赛中杨倩的平均环数是10.49环，通过日复一日的刻苦训练，杨倩在决赛中发挥出世界一流的射击水准。我们注意到，24枪当中有5枪命中10.5环，10.5环及以上的环数频率大，权重大从而整体提高了平均值，因此五星红旗啊，在奥运会首日就高高飘扬。在比赛的现场，我们是如何计算平均值的呢？我们是将环数与频率进行乘积，再进行求和，也就是说，以频率为权，进行加权平均的运算，如果我们考虑更抽象更抽象的离散型随机变量，记这样一个随机变量为大x，大x的可能取值为XI，取值概率记为PI，我们在第一章中呀探讨过，当试验次数充分大的时候，频率是稳定于概率的。

那么我们就想到可以将这里的频率替换为概率，也就是随机变量的可能取值，与概率进行乘积，再关于i求和，这样我们就对于随机变量抽象出一个数字特征，把这样一个数字特征记为数学期望，用EX来表示，期望是以概率为权，进行加权平均的运算，我们导出本节课的定义，考虑x是一个离散型随机变量，这是它的分布列。可能取值呢，有无限可列个，我们将可能取值与对应概率乘积，再进行求和，这样一个积数和就是我们所探讨的数字特征。

由于涉及到级数，我们考虑以级数的绝对收敛为条件，绝对收敛能保证级数一定存在，并且当我们任意交换，可能取值的次序呢，并不会改变集数和在绝对收敛的条件下，将这样一个数字特征记为我们所探讨的数学期望，简称期望。

数学期望反映了随机变量可能取值，关于取值概率的加权平均，我们知道x是随机变量，随机就体现在可能取值是随机出现的，概率在变化，但是我们今天所抽象出来的数字特征是不变的。我们要通过不变的数字特征来理解随机变量，请同学们体会这种变与不变之间的辩证关系。

比如说这里的数学期望反映的就是随机变量的它的取值平均水平，能够刻画中心位置，我们生活中呀，就蕴含着期望的思想，比方说2022年我国人均寿命达到77.93岁，这就是通过期望来计算出来的。那么对于具体的问题来说，我们如何计算期望呢？首先我们要通过计算概率得到分布列，分布列刻画出来，将XI与PI乘积，再进行求和，这就是计算期望的步骤。

接下来我们用期望这种数字特征来解释引力的摸珠子的问题，对于这样一个问题，我们发现中奖金额在变化所以，我们令x表示的是玩家玩一次游戏所得的奖金额，那么奖金有哪些可能取值呢？我们发现奖金额呀，可以是100元，可以是20元、10元、2元、1元以及运气最不好的-10元。换句话说，x是一个随机变量，那么我们要探讨的是，玩家玩一次游戏，在平均的意义下是赔是赚呢？

那同学们说，我们应该探讨x的数学期望。那么对于今天期望的这种计算问题我们首先考虑分布列，也就是中奖金额等于每一种结果时对应事件的概率。接下来啊，请同学们以小组为单位计算一下一次摸出840这个事件的概率是多少，第一小组计算840发生的概率，同学们看一下是否是这样一个结果。对于840概率计算，用我们第一章中所探讨的古典概型来计算，考虑事件包含的样本点数除以样本空间中总的样本点数，就可以得到概率。我们展示计算的过程与结果，第一小组呀，计算出正确的结果仅仅为0.02%，这就意味着平均玩1万局游戏才会有两局摸出840，概率非常小。第二小组呢？来计算一次摸出345这个事件的概率

对于345的概率来说，用相同的方法与计算过程，我们发现，与840不同，摸出345的概率为48.71%，接近有一半的可能性呀，会摸出345。

所以对于这样一个摸珠子游戏问题来说，总共有13种可能的结果，每一种结果所对应的奖金额是不同的，第一小组同学计算出摸出840的概率，第二小组同学计算出摸出345的概率，还有11种情形呢，同学们可以啊，用相同的方法计算出来。这时我们发现，玩家想要得奖金为100元，只能是摸出840。840，发生的概率为0.02%，这就是奖金额为100的概率。如果玩家想要赚20元呢？要么摸出750。要么摸出660，两个概率之和0.19%，就是奖金额为20元的概率。

同样的方法，两种情形能够赚10元概率和0.19%，两种情形能赚2元

概率和为3.77%，会有5种情形分别赚1元，这5个概率之和为47.12%

然而摸出345这一个事件的概率为48.71%，所以对于一次中奖金额随机变量大x，我们通过计算概率就得到了分布列，分布列刻画出来可能取值值加加到-10元，去乘以48.71%，这样我们通过代数运算就可以求得结果。

计算的结果呢，为负的4.25，负值表示玩家要赔钱，这样一个计算结果表明，玩一局游戏，玩家平均要赔4块2毛5，这就保证了摊主是稳赚不赔的，那摊主是如何设计这个游戏的呢？840出现的概率最小，奖金额最高，极具诱惑力，当100与0.02%相乘时，这个乘积在求和中的贡献非常小，然而随着概率的增加，奖金额却在减少，所以啊这些成绩的贡献也较小。尽管有接近半数的可能赚1元，但是有接近半数的概率要赔10块钱，把345这一个结果，他的奖金定义为-10元，直接就导致期望为负值，这就是摊主设计游戏的玄机，所以同学们，我们应该避免du博，避免入坑，避免被套路。

在去年啊，我们都经历过核酸检测 ，有同学会问，为什么采用核酸混检方式呢？我们通过期望来探究这样一个问题，假设每一个人被检测为阳性的概率为5%，我们采取两种方案对10个人进行检测，一种方案是单人单管，那么总的检测次数就是10次，而另一种方案呢，是采用10人混管方式，总的检测次数是变化的，有两种情形。

要么这10个人都是事实上的阴性，只需检测一次就可以，要么呢这10个人当中有人呈阳性，那么呀单独检测以后，还需要对这10个人逐一进行检测，总的检测次数就是10亿次，所以10人混检的方式下，检测次数是一个随机变量，我们来刻画一下它的分布列。同学们很容易计算出相应事件发生的概率，也就是全是阴性的概率，以及至少有一个人呈阳性的概率，这样我们刻画出分布列以后，就能得到10人混检的平均检测次数，也就是数学期望可能取值与概率进行乘积，再进行求和，这样一个结果是多少呢？平均次数为5次，与单人单管的10次相比啊，节省了一半的检测次数，从而提高了检测的效率。

我们发现，换管平均检测次数是与流行率有关的，更一般的，我们记流行率呢，为p。如果流行率为p，我们按照同样的方法，能够计算出10人换管的平均检测次数，我们发现，平均检测次数是随着疾病的流行率的变化而变化，我们可以绘制出函数图像，在这里p代表疾病流行率，红线表示的是单人单管的10次，而绿线表示的是10人混管的平均检测次数，当流行率为20%的时候呀，两种方案检测次数是相同的，但是在疫情优化调整之前，我国的流行率远远低于1%，所以啊混检的检测次数更少，这就揭示出混检的意义。

我们对本节课进行小结，本节课呢，我们探讨了一种离散型随机变量的数字特征，数学期望。通过设计案例，我们导出了期望的定义，探讨了期望的计算的步骤，同学们要深刻理解加权平均的思想，提升我们科学求证定量为实的素养，提高我们分析问题解决问题的能力。

最后布置一道作业，分赌本问题是历史上著名的问题，请同学们用期望来探究。好，我们今天呢，就探讨到这里，谢谢大家。